Question

关于勾股定理的逆定理

近日我与朋友讨论关于勾股定理的逆定理，按严谨的数学态度来说，任何定理的逆定理是否成立是需要证明的，而我的朋友却说，数学教科书初二下册中的证明是多余的，他是这样说的：由于逆定理的命题（三角形三边长分别为a.b.c，已知a的平方+b的平方=c的平方，则这个三角形为Rt三角形）中，已知部分与勾股定理的形式相同，因此逆定理成立。这个说法对吗？如不对，请告诉我不对的理由，要具有说服力！希望这方面的权威进来解答！有悬赏分答谢！

Answer 1

他的说法不对
你也知道真命题的逆命题不一定成立，需要证明，这是因为原命题的前提条件可能是充分不必要条件，而不是充分必要条件，这是命题就不可逆。
比如说中国人都有两只眼睛是成立的，而反过来有两只眼睛的都是中国人就是不成立的，因为外国人也是两只眼睛。究其根本，在于中国人这个前提对有两只眼睛这个结论而言是很充分的，但并不是必要的。从这个例子我们可以看出只有前提即充分有必要的定理才是可逆的。
真正不需证明就一定成立的是逆否命题，还以上面的例子，若说不是两只眼睛的就不是中国人（刨除意外和畸形的），就比较有道理了，因为这是逆否命题。同样以勾股定理而言，真正无需证明的是若a方+b方不等于c方，就一定不是rt三角形，这就对了。

Answer 2

首先，我需要说明：“任何定理的逆定理是否成立是需要证明是多余的”这个说法是不对的，毕竟原定理成立，它的逆定理不一定成立，（因为不是逆否定理）举个显而易见的例子：对顶角相等，他的逆定理是相等的角是对顶角。请问相等的角都是对顶角吗？显然这个说法是不对的，所以与定理形式相同的逆定理不一定成立，进而可以说明你同学的说法是错误的，所以这个对构股定理的逆定理证明也是错误的。

Answer 3

这个定理的逆定理当然要证明的了 怎么会多余 呢

三角形三边长分别为a.b.c，已知a的平方+b的平方=c的平方，这句只是说如果三边满足这个关系式,那么结论是直角三角形,这个结论必须要证明才能说逆定理成立

Answer 4

a∧2+b∧2=c∧2
cosA=(a∧2+b∧2-c∧2)/2bc
cosA=0
A=90°Rt三角形

Answer 5