Question

在数列{an}中,an>=1,a1=1,a(n+1)-an=2/a(n+1)+an-1,n属于N+

(1)记bn=(an-1/2)^2,n属于N+,求证:数列{bn}是等差数列
(2)求数列{an}的通项公式
(3)对于任意给定的正整数k,是否存在m属于N+,使得am=k?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由

Answer 1

1.
由a(n+1)-an=2/[a(n+1)+an-1]
得a(n+1)^2-an^2-a(n+1)+an=2
a(n+1)【a(n+1)-1】-an(an-1)=2……①
令cn=an(an-1)
则①式得c(n+1)-cn=2
cn为等差数列，公差为2
由a1=1，得c1=0
所以cn=2(n-1)
an(an-1)=an^2-an=2(n-1)
配方可得： （an-1/2）^2=2(n-1)+1/4
即bn=2(n-1)+1/4,则b(n+1)-bn=2,
所以数列{bn}是公差为2的等差数列

2.
因为an>=1 所以（an-1/2）=√[2(n-1)+1/4]
所以an=√[2(n-1)+1/4]+1/2=√(2n-7/4)+1/2.

3.
对于任意给定的正整数k,设am=k，
即√(2m-7/4)+1/2=k，
2m-7/4=(k-1/2)^2,
2m=(k-1/2)^2+7/4,
2m=k^2-k+2,m=k(k-1)/2+1,
因为k与k-1是连续的自然数，所以k(k-1)必定能被2整除，
所以k(k-1)/2+1是正整数，
所以对于任意给定的正整数k,存在正整数m=k(k-1)/2+1,使得am=k。