Question

已知sinx+cosx=-1，则sin^2005x+cos^2005x的值为 答案是正负1，我觉得只可能是-1，怎么解释

Answer 1

解：
∵sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)＝－1
∴sin(x＋π/4)＝－√2/2
∴x＋π/4＝2kπ－3π/4或x＋π/4＝2kπ－π/4，k∈Z
∴x＝2kπ－π或x＝2kπ－π/2，k∈Z
i)当x＝2kπ－π时，cosx＝－1，sinx＝0
∴sin^2005x＋cos^2005x＝－1
ii)当x＝2kπ－π/2时，cosx＝0，sinx＝－1
∴sin^2005x＋cos^2005x＝－1
综上，sin^2005x＋cos^2005x的值为－1.

也可根据同角三角函数的基本关系得sinx和cosx中一个等于0，另一个等于－1.
还可以根据sinx＋cosx＝－1，两边平方得sin²x＋cos²x＋2sinxcosx＝1，则sinxcosx＝0，再分类讨论即可.

Answer 2

我也认为是-1，奇次方的是-1，偶次方的是1