Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D为AB的中点,求异面直线AC1与BC1所成角的余弦值

Answer 1

 

直线AC1与BC1不是异面直线，它们所成角为〈AC1B，

根据勾股定理，BC1=√（BC^2+CC1^2)=4√2，

AC1=5,AB=5,

在△ABC1中，根据余弦定理，

cos<AC1B=(AC1^2+BC1^2-AB^2)/(2AC1*BC1)

=2√2/5。

如果是求AC1和CB1二异面直线所成角，解答如下：

延伸平面ACC1A1，在该平面上作CE//AC1，交A1C1延长线于E，作EF⊥平面ABC，垂足F，连结BF，〈ECB1就是异面直线AC1和CB1所成角，

则四边形ACEC1是平行四边形，C1E=AC=3，CE=AC1=5，

EF=AA1=4，

AF=AC+CF=6，

根据勾股定理逆定理，

<ACB=90°，

cos<CAB=AC/AB=3/5，

在△ABF中根据余弦定理，

BF=5=B1E=CE，

∴△ECB1是等腰△，作EH⊥CB1，H是垂足，CH=CB1/2=2√2，

∴cos<ECB1=CH/CE=2√2/5。