Question

已知函数f(x)=-x^2+2ax+1-a,在0<=x<=1时有最大值2,求a的值。

f(x)=-x^2+2ax+1-a
=-(x-a)^2+a^2-a+1

为什么当a<0时 就有 f(0)max=1-a=2呢？
为什么当0<=a<=1时 就有f(a)max=a^2-a+1=2呢？
为什么当a>1时 就有f(1)max=a=2呢？

Answer 1

首先这个函数开口方向是向下的，你大概画个草图吧
这个a就是对称轴-2a/b得来的，当对称轴a小于0时，那么函数f(x)在x>0这边单调递减，故f(0)max=1-a=2
当对称轴0《a《1时，因为函数的定义域为【0,1】，所以f(a)max=a^2-a+1=2
当对称轴a>1时，那么函数f(x)在负无穷到1单调递减，所以f(1)max=a=2

Answer 2

x=a为对称轴，而且图像开口向下
当a（代表对称轴）<0时，函数在0<=x<=1单调递减，所以f(0)max=1-a=2。
当0<=a<=1时，函数在对称轴上取最大值， 就有f(a)max=a^2-a+1=2
当a>1时，函数在0<=x<=1单调递增，就有f(1)max=a=2