Question

2道证明题

在梯形ABCD中，AD∥BC，若△AOD=S1，S三角BOC=S2，则S梯形ABCD=（√S1+√S2）²
在△ABC中，D在AB上，E在AC上，F在BC上，DE∥BC,EF∥AB，若S△ADE=S1,S△EFC=S2，则S△ABC=（√S1+√S2）²

Answer 1

1、∵梯形ABCD中，AD平行BC
∴△AOD∽△BOC
从而 S△AOD/S△BOC=OA^2/OC^2
则 OA/OC=√S△AOD/√S△BOC=√S1/√S2 ①
又三角形AOD与三角形COD的底分别为OA，OC。它们具有相同的高,设为H
∴S△AOD/S△COD=（1/2*OA*H）/（1/2*OC*H）=OA/OC ②
由①②得 S△AOD/S△COD=√S1/√S2 ③
又三角形ABC与三角形BCD同底，等高
从而 S△ABC=S△BCD ④
又 S△AOB=S△ABC-S△BOC ⑤ S△COD=S△BCD-S△BOC ⑥
由④⑤⑥得 S△COD=S△AOB=S3 ⑦
由③⑦得 S1/S3=√S1/√S2
∴√S1*√S2=S3 ⑧
又S=S1+S2+S3+S3=S1+S2+2S3 二
将⑧代入二得 S=S1+S2+2√S1*√S2
则 (√S)^2=(√S1+√2)^2

2、因为DE∥BC
所以△ADE∽△ABC
所以S1/S＝(AE/AC)^2
所以AE/AC＝√(S1/S)
同理可得CE/AC＝√(S2/S)
两式相加得：
√(S1/S)＋√(S2/S)＝1
即三者之间的关系是：
√S1＋√S2＝√S
即 S△ABC=（√S1+√S2）²