Question

已知e<a<b,试比较a的b次方和b的a次方的大小

Answer 1

大过e的话，就好办了。
我觉得用a,b这两个字母打出来给你看的话 不太舒服。不妨我用2.8 和 2.9 来代替它们，原理是一样的。
因为 (1+1/28)^28 <e < 2.8
所以 (2.9/2.8)^28 < 2.8 然后 (2.9/2.8)^2.8< 2.8^0.1
接着2.8^0.1 / (2.9/2.8)^2.8 >1
所以 2.8^(0.1+2.8) / 2.9^2.8>1
所以 2.8^2.9 / 2.9^2.8 >1
那就是说 2.8^2.9 大咯。
也就是 a^b 大过 b^a

Answer 2

解：两边取对数可得原不等式等价于：
blna<alnb
分配一下，上式又等价于：
(lna)/a<(lnb)/b
由于e<a<b
构造函数f(x)=(lnx)/x
我们需要证明的是f(b)>(a)
而这只要证明f(x)在(e,+∞)上单调递增即可。
所以f'(x)=(1-lnx)/x^2<0
所以f(x)在(e,+∞)上单调增函数。