Question

问一道初中几何数学题，求高手

E是正方形CD边的中点，F是CD上一点，FA=FC+CB，求：∠DAE=1/2∠BAF

Answer 1

设正方形边长为1，设DF=x
则FA=FC+CB得到2-x=√(x^2+1)
平方，得4-4x=1，x=3/4
tanBAF=BC/DF=1/x=4/3
tanDAE=1/2，由倍角公式tan2DAE=2tanDAE/[1-(tanDAE)^2]=4/3
在0到90度范围内，tan相等可以得到角相等，从而BAF=2DAE，也就是所求的关系式

Answer 2

证明：如图，作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，
所以FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，
AF2=AD2+DF2=a2+(3a 4 )2=25 16 a2，
所以AF=5 4 a=FH．
从而CH=FH-FC=5 4 a-a 4 =a，
所以Rt△ABG≌Rt△HCG（AAS），GB=GC=DE=1 2 a．
从而Rt△ABG≌Rt△ADE（SAS），
所以∠DAE=∠2=1 2 ∠BAF．