Question

已知PA垂直于ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M，N分别是AB，PC的中点，求证（1）MN平行于平面PAD，（2）平面...

已知PA垂直于ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M，N分别是AB，PC的中点，求证（1）MN平行于平面PAD，（2）平面PMC垂直平面PDC

Answer 1

1）方法一：取PD中点E，连接NE，AE
则 EN=1/2CD=1/2AB=AM，
且 EN//CD//AB//AM，
∴ 四边形AMNE为平行四边形，
∴  MN// AE，又MN面PAD，AE面PAD

∴MN// 面PAD； 

2）∵PA=AD，∴△PAD为等腰直角三角形
又 E为PD中点， ∴AE⊥PD 
∵PA⊥平面ABCD
∴ PA⊥CD 
又∵四边形ABCD是矩形
AD⊥CD
且 PA∩AD=D ， PA、AD平面PAD ，
∴CD⊥平面PAD，  则AE⊥CD

且 CD∩PD=D ，则 AE ⊥平面PDC
由1）知 MN// AE ∴MN⊥平面PDC。

 

1）方法二：取CD的中点Q，连接MQ、NQ

利用中位线，证明MQ、NQ分别平行于AD、PD，进而可得平面MNQ//平面PAD，故MN//平面PAD。

Answer 2

证明：
⑴
设PD的中点为E，连接AE、NE
∵N、E分别是PC、PD的中点
∴NE∥CD且NE＝1/2CD
又四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD且AB＝CD
∴NE∥AB且NE＝1/2AB
又M是AB的中点
∴AM＝1/2AB
∴AM＝NE且AM∥NE
故四边形AMNE是平行四边形
∴MN∥AE
而AE在平面PAD内，MN不在平面PAD内
∴MN∥平面PAD
⑵
∵PA＝AD，E是PD的中点
∴AE⊥PD
又PA⊥平面ABCD，而CD在平面ABCD内
∴PA⊥CD
而CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE
∵PD∩CD＝D
∴AE⊥平面PDC
而MN∥AE
∴MN⊥平面PDC
又MN在平面PMC内
∴平面PMC⊥平面PDC.