Question

若实数x,y满足x2+4y2=4x,求x2-y2的最大值和最小值

Answer 1

x2+4y2=4x
x²-4x+4y²=0
(x-2)²+4y²=4
0≤x≤4
-1≤y≤1

x2+4y2=4x得y²=(4x-x²)/4
x²-y²
=x²-(4x-x²)/4
=5x²/4-x
=(5/4)(x²-4x/5)
=(5/4)(x-2/5)²-1/5
当x=2/5时，x²-y²有最小值为-1/5
当x=4时，x²-y²有最大值为16

追问

0≤x≤4 -1≤y≤1怎么得出的

追答

因为平方值都是大于等于零
(x-2)²+4y²=4
4y²≥0，所以(x-2)²≤4，可得0≤x≤4
(x-2)²≥0，所以4y²≤4，可得-1≤y≤1

Answer 2

x^2-4x+4y^2=0
(x-2)^2+4y^2=4
(x-2)^2/4+y^2=1
所以设x=2cosa+2 y=sina (0<=a<2π)
x^2-y^2
=4cos^2a+8cosa+4-sin^2a
=5cos^2a+8cosa+3
=5(cosa+4/5)^2-1/5
所以最大值为16，最小值为-1/5