1²+2²+。。。+n²=

有过程吗... 有过程吗 展开
253095635
2012-08-27 · TA获得超过4086个赞
知道答主
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关于 1^2 + 2^2 + …… + n^2 = n×(n+1)×(2n+1)/6 的证明:

(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1

所以
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1
n^3 - (n-1)^3 = 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1
(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-2)^2 + 3(n-2) + 1
............
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 +1

把以上n个等式的两边分别相加得到
(n+1)^3-1^3 =
3×(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3×(1+2+3+……+n) + n个1的和

(n+1)^3-1 = 3×(1^2+2^2+...+n^2) + 3×n×(n+1)/2 + n

所以
3(1^2+2^2+......+n^3)
= n^3 + 3n^2 + 3n - 3n(n+1)/2 - n
= n(n^2+3n+2) - 3n(n+1)/2
= n(n+1)(n+2)-3n(n+1)/2
= n(n+1)(2n+1)/2

最后
1^2+2^2+......+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
xiaoq85
2012-08-27 · TA获得超过2330个赞
知道小有建树答主
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n(n+1)(2n+1)/6
数学归纳法易证
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百度网友ce8d01c
2012-08-27 · 知道合伙人教育行家
百度网友ce8d01c
知道合伙人教育行家
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n(n+1)(2n+1)/6
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