Question

已知：在三角形ABC中，以AC边为直径的圆o交BC于点D，在劣弧AD上取一点E使角EBC=角DEC。见补充。

已知：在三角形ABC中，以AC边为直径的圆o交BC于点D，在劣弧AD上取一点E使角EBC=角DEC，延长BE叫AC与点G，交圆O于点H。求证：AC⊥BH。
连接AD有什么用？求解。

Answer 1

分析：连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论；
证明：连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH

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Answer 2

俊狼猎英团队为您解答

连接CH，则∠BDE=∠H，(圆内接四边形外角等于内对角)，
而∠BDE=∠BCE+∠DEC，∠HEC=∠BCE+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个外角和)，
∵∠B=∠DEC，∴∠H=∠HEC，
∴弧CE=弧CH，∵AC为直径，
∴AC垂直平分EH(平分弧的直径垂直平分弦——垂径定理)，
即AC⊥BH。

连接AD的作用比较明显是相似三角形。
∵AC为直径，∴∠ADC=90°。
∵∠DEC=∠DAC=∠B，∠ABC为公共角，
∴ΔCAD∽ΔCBG，
∴∠CGB=∠ADC=90°，
∴AC⊥BH。

Answer 3

证明：连接AD
∵∠CAD、∠DEC所对应圆弧都为劣弧CD
∴∠CAD＝∠DEC
∵∠EBC＝∠DEC
∴∠EBC＝∠CAD
∵直径AC
∴∠CAD+∠ACD＝90
∴∠EBC+∠ACD＝90
∴∠BGC＝180-（∠EBC+∠ACD）＝90
∴AC⊥BH