Question

求反常积分的一道题

求∫(0,+oo) xe^-x/(1+e^-x)^2 dx。
解：原式=∫(0,+oo)xd(1/1+e^-x)=x/(1+e^-x)|(0,+oo)-∫(0,+oo)1/(1+e^-x)dx=xe^x/(e^x+1)|(0,+oo)-ln(1+e^x)|(0,+oo)，可以知道这个极限无法确定但答案等于ln2，请问我的解题过程哪里出错了？？

Answer 1

你那样算出来是：无穷-无穷，只能说明那是未定式，不能说它无法确定，他是可以算出来的。
就比如：lim（n→无穷）(x²+x-x²)/x这个极限，其实是存在的吧，等于1吧，但若你把它拆成
lim(x²+x)/x和lim(-x²)/x的话，这两个都是无穷，就是无穷-无穷。但也不能说他不确定啊，是吧。
你那儿可以把两个极限连起来求，就应该能求出来。

Answer 2

你的计算正确，最后还需计算一个∞-∞型的极限
上限：lim[x→+∞] xe^x/(e^x+1)-ln(1+e^x)
=lim[x→+∞] x-[x/(e^x+1)]-ln(1+e^x)
=lim[x→+∞] lne^x-[x/(e^x+1)]-ln(1+e^x)
=lim[x→+∞] ln[e^x/(1+e^x)]-[x/(e^x+1)]
=0
下限： xe^x/(e^x+1)-ln(1+e^x) x=0代入得：-ln2
上限-下限=ln2