Question

求积分∫(2x+6/x^3+x-2)dx，求各位前辈赐教

Answer 1

x³+x-2=x³-x²+x²-x+2x-2=x²(x-1)+x(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x²+x+2)
则可设：(2x+6)/(x³+x-2)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x²+x+2)
解得：A=2，B=C=-2
则：∫ (2x+6)/(x³+x-2) dx
=2∫ 1/(x-1) dx - ∫ (2x+2)/(x²+x+2) dx
=2ln|x-1| - ∫ (2x+1)/(x²+x+2) dx - ∫ 1/(x²+x+2) dx
=2ln|x-1| - ∫ 1/(x²+x+2) d(x²+x) - ∫ 1/[(x+1/2)²+(7/4)] dx
=2ln|x-1| - ln(x²+x+2) - (2/√7)arctan[(2x+1)/√7] +C

追问

非常感谢您,想再多问一句,这道题是不是属于典型的还元积分类型题?因为看到里有好多类似这样的题,例如分母是x^2+x+2这样的.解这类题有没有什么思路吗?还是说做的多了,一上来就可以看出如何变形?

追答

这类题叫做有理函数积分，是有专门方法的，书上都有。
步骤：
1、如果出现假分式，化为多项式与真分式之和（真分式是指分母次数高于分子）；
2、分母因式分解；
3、拆为部分分式；
4、然后积分。

做这类题之前首先要会求以下几个类型积分：
∫1/(x-a)dx，∫ 1/(x-a)^k dx ，∫ (ax+b)/(x²+px+q) dx，其中p²-4q<0

前几天我这个答案被百度吞了，今天刚显示出来。