Question

已知三角形ABC的三边为a,b,c,面积S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求:

1 cosA的值

2 S的最大值

Answer 1

根据余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
S=1/2bcsinA=a^2-(b-c)^2
sinA=2[a^2-(b-c)^2]/(bc)=2[a^2-(b^2+c^2)+2bc]/(bc)
=-4cosA+4
两边平方1-cosA^2=16(1-2cosA+cosA^2)
解得cosA=15/17或cosA=1(舍去)
sinA=8/17
S=1/2bcsinA<=1/2((b+c)/2)^2sinA=64/17

Answer 2

cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc ;

cosA*2bc = b^2 + c^2 - a^2 ;
又因为 S=a^2-(b-c)^2 = a^2 - b^2 - c^2 + 2bc ;
所以 S = -cosA*2bc + 2bc;
三角形中 0 <= cosA < 1;
所以 S 最大值为 2bc；