Question

一道高中数学导数选择题，急，只想知道为什么C不行

Answer 1

连接AB两点，C在曲线上从A点开始沿着曲线滑动，你可以看到，C在A点时候，是不存在三角形的所以面积函数S(x)无定义，然后上滑一点点，面积开始增大，而且，C从A到AB与曲线交点的过程中，必然有一个点，这个点到AB连线的距离最远，此时三角形面积就最大了，因为底边AB是不变的，因此，从A到AB与曲线的交点的过程中，S(x)是先从0增大后减小到0的过程，然后同样的，C从AB与曲线交点滑动到B的过程中，S(x)也是先增大，后减小到0的，因此你可以看到其实S(x)的图像与选项A就比较像了，那么根据图像A，可以看到，该曲线的切线斜率是先从一个正值，逐渐减小变化到0，再从0减小到一个负值，在中间的尖点，斜率突然变化成一个正值，然后又减小到0，再减小到一个负数，因此A基本上就是S(x)的图像，而D正好就是其导数图像，根据描述的过程就知道C没有这个从负值突变到正值的过程。

追问

请问图像A中间的尖点不可能是平滑的吗？而不是这种突变？

追答

这个题目不好说，因为什么呢？因为f(x)的在AB曲线交点附近的变化情况不是太清楚，只能从大范围来看，f(x)从第一个顶点到这个交点之间来看总的趋势是斜率是增大的，这个你能肯定吧。那么也就是说C在f(x)上移动一个相同的水平距离，它在竖直方向的变化量是增大的，也就是说C点离直线AB的距离是越来越快的，C离AB越来越快，说明面积减小得的越快，那么A中尖点左端的一部的曲线斜率应该是逐渐增大，说明面积减小得越来越快，而你考虑的平滑的应该是下图中的情形，这种情形后来是面积减小得越来越慢的。

Answer 2

C中面积为零时其导数也为零，显然不正确，应该像D中那样有一个突变

追问

就是不理解这里，能不能解释一下呢，多谢啦

追答

C点沿下行曲线一直在动，面积变化率，也就是导函数值，不可能为0啊。体会一下就知道了
多画几个三角形，这东西只可意会

追问

那y=x^3的图像上，某点从下往上运动的过程中，当x=0的时候导数等于0啊

追答

这是个面积的函数嘛，看面积的变化率，那一段是不可能为零的

Answer 3

你把面积取正负值化，则前半部分的面积算成正值，后半部分的面积算为负值，这样的话得出的面积导函数的后半部分会正负变反，但值的大小不变。像D图像就会变成cosx类似的曲线，而C图像的中间变得有个莫名的突起。因为图像是一个圆滑的曲线，所以像C图那的尖性突起是不可能产生的。所以选择是D。
结合向量理论来理解会容易得多。