初中 数学 几何
如图,正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ADE=15°,过D作DG⊥ED于D,且AG=AD,过G作GF//AC交ED的延长线于F。求证:2DF+ED=BD...
如图,正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ADE=15°,过D作DG⊥ED于D,且AG=AD,过G作GF//AC交ED的延长线于F。求证:2DF+ED=BD
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延长GF,过C作CM//AG,交GF的延长线于M,连接DM。 AC//GF, 即AC // GM ∴ 四边形ACMG是平行四边形。 ∴AG=AD=DC=CM,∠AED=∠DFM=120° ∵∠ADE=15° ∴∠DAG=30°,∠GAE=∠CMF=75°,∠ACM=105° ∴∠DCM=60°所以△DCM是等边三角形 ∴DM=AD,∠DMF=∠ADE=15° ∴△AED全等于△DFM ∴FM=ED,AE=DF 又∵AC=GM 即BD=GF+FM=DF+ ED 又在RT△GDF中,∠GFD=60° ∴∠DGF=30° ∴GF=2DF ∴ BD=2DF+ED
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