Question

初中 数学 几何

如图,正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ADE=15°，过D作DG⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF//AC交ED的延长线于F。求证：2DF+ED=BD

Answer 1

延长GF，过C作CM//AG，交GF的延长线于M，连接DM。 AC//GF, 即AC // GM ∴ 四边形ACMG是平行四边形。 ∴AG=AD=DC=CM，∠AED=∠DFM=120° ∵∠ADE=15° ∴∠DAG=30°，∠GAE=∠CMF=75°，∠ACM=105° ∴∠DCM=60°所以△DCM是等边三角形 ∴DM=AD，∠DMF=∠ADE=15° ∴△AED全等于△DFM ∴FM=ED，AE=DF 又∵AC=GM 即BD=GF+FM=DF+ ED 又在RT△GDF中，∠GFD=60° ∴∠DGF=30° ∴GF=2DF ∴ BD=2DF+ED

Answer 2

因为四边形ABCD是正方形，BD为对角线。
所以角ABD=45度，又因为角ADE=15度。
又因为FG垂直ED于D，所以角EDG=90度
所以角ADG=75度，又因为AG=AD
所以角AGD=角ADG=75度