Question

设f(x)={x^2,/x/>=1, x,/x/<1. g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域为0到正无穷大，则g(x)的值域是

设f(x)={x^2,/x/>=1, x,/x/<1. g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域为0到正无穷大，则g(x)的值域是
A.负无穷大到-1并1到正无穷大
B负无穷大到-1并0到正无穷大
C0到正无穷大
D1到正无穷大

我觉得答案是B，但正确答案是C,

Answer 1

公段函数f(x)的解析式子中共有五处x，把每处的x全部换成g(x)后为：

f[g(x)]={g^2(x) |g(x)|≥1

{g(x) |g(x)|<1
1）先看第二行：
f[g(x)]= {g(x) |g(x)|<1
抛物线的开口只有两种情况：①向上，②向下；
如果开口向上，因为
{0≤g(x)
{-1<g(x)<1取交集得：
0≤g(x)<1,这个结果说明抛物线在带形-1<y≤0 内没有图像，由于抛物线是连续的
所以它在y≤-1内也没有图像，所以项点至少不在下半平面；
如果开口向下，根据0≤g(x)<1,这个结果说明一个开口向下的抛物线，
在0≤y<1内必须有图像，同时在-1<y≤0内必须没有图像，这样的抛物线是不存在的，
也就是说抛物线的开口不可能向下，只有开口向上；

2）再看第一行：
由第一行可知开口向上，
f[g(x)]={g^2(x) |g(x)|≥1，
因为，f[g(x)]的值域为0到正无穷大，所以
g^2(x)≥0且 |g(x)|≥1，再加上上面的g(x)≥0得：g(x)≥1,再把两个结果并起来得：选项【C】是正确的；