Question

设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用an表示an+1；
（2）求证：数列｛an-2/3｝是等比数列；
（3）当a1=7/6时，求数列｛an｝的通项公式。

答案： 解：（1）由韦达定理得：α+β=a(n+1) /an ，α•β= 1/an，
由6α-2αβ+6β=3得6• a(n+1)/an-2/an=3，
故an+1= 1/2an + 1/3
（2）证明：因为an+1- 2/3=1/2an-1/3=1/2(an - 2/3)，
所以[ a(n+1)-2/3] / [an-2/3] = 1/2
故数列{an- 2/3｝是公比为2/3的等比数列；
（3）当a1=7/6时，数列｛an-2/3｝的首项a1- 2/3=7/6-2/3=1/2，
故an- 2/3=1/2 • (1/2)^n-1(n-1次方) =(1/2)^n(n次方)
于是．an=（1/2）^n(n次方)+2/3.

您能给我讲一下“由韦达定理得：α+β=a(n+1) /an”是怎样由韦达定理的来的么

Answer 1

对于一元二次方程ax²+bx+c=0, 如方程存在实数根x1,x2，则有韦达定理
两根之和x1+x2=-b/a
两根之积x1*x2=c/a

在题中方程为a(n)x²-a(n+1)x+1=0, 故a=a(n), b=-a(n+1), 存在两根α和β
∴由韦达定理得：α+β=a(n+1) /an

Answer 2

韦达定理对虚数根也是成立的