Question

设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用an表示an+1；
（2）求证：数列｛an-2/3｝是等比数列；
（3）当a1=7/6时，求数列｛an｝的通项公式。

答案： 解：（1）由韦达定理得：α+β=a(n+1) /an ，α•β= 1/an，
由6α-2αβ+6β=3得6• a(n+1)/an-2/an=3，
故an+1= 1/2an + 1/3
（2）证明：因为an+1- 2/3=1/2an-1/3=1/2(an - 2/3)，
所以[ a(n+1)-2/3] / [an-2/3] = 1/2
故数列{an- 2/3｝是公比为2/3的等比数列；
（3）当a1=7/6时，数列｛an-2/3｝的首项a1- 2/3=7/6-2/3=1/2，
故an- 2/3=1/2 • (1/2)^n-1(n-1次方) =(1/2)^n(n次方)
于是．an=（1/2）^n(n次方)+2/3.

我不太明白第三问里的 “故an- 2/3=1/2 • (1/2)^n-1(n-1次方) =(1/2)^n(n次方)” ，您能给我讲一下么。

Answer 1

从第二问看，(an-2/3)是一个公比为1/2的等比数列(不是你所写的公比为2/3);故而第三问中所构成的数列为首项是1/2公比也是1/2的数列,其通项公式为:首项*(公比)^(n-1)=(1/2)*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n;

Answer 2

非常感谢，其实我在试卷上第二问就不会做了，解题过程很完整！