Question

如图所示,三角形ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的角平分线∠ABC的角平分线交于P，若∠PBC=40°，则

如图所示,三角形ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的角平分线∠ABC的角平分线交于P，若∠PBC=40°（注意是PBC不是∠BPC），则∠CAP=———

（某位仁兄的图，借用一下)

Answer 1

∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+40°；(1)
PB平分∠ABC，得∠PBC=∠ABC/2;
PC平分∠ACD, 得∠PCD=∠ACD/2; 代入（1）得
∠ACD-∠ABC=80°；
在△ABC中，∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°; (∠ACD是外角);（2）
过P点作BC、AC、BA的垂线分别交于D、E、F；
由PB平分∠ABC，得PD=PF；
由PC平分∠ACD，得PE=PD；
推得PE=PF，所以PA平分∠CAE；（点到角两边的距离相等，则它与角顶点的连线是角平分线）
即∠CAP=∠CAE/2; (3)
又∠CAE是△ABC的外角，有∠CAE=180-∠BAC；代入（2）得
∠CAE=100°, 代入（3)得：
∠CAP=50°

Answer 2

∠PBC=40不会有结果，应为∠BPC=40
则∠CAB=∠ACD-∠ABC=2(∠PCD-∠PBD)=2∠BPC=80
向三角形三边作垂线分别相交于E,F,G. 则有PE=PF=PG
故PA是∠BAC外角的平分线，故∠CAP=50

Answer 3

∠PBC=40不会有结果，应为∠BPC=40
则∠CAB=∠ACD-∠ABC=2(∠PCD-∠PBD)=2∠BPC=80
向三角形三边作垂线分别相交于E,F,G. 则有PE=PF=PG
故PA是∠BAC外角的平分线，故∠CAP=50

Answer 4

60