Question

在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，与湖岸成15度角，

在很大的一湖岸边（可使湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°角，速度v=2.5km/h，同时岸上有一人，从同一地点出发追赶小船，已知他在岸上跑的速度为v1=4km/h，在水中游的速度为v2=2km/h，问此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少？

Answer 1

咱们先不考虑这条船能不能被追上，先假设这个人想要用最短的时间追上船，必须要在岸上跑一段距离，再下水游一段距离。

根据光学原理，将湖岸看作是两个介质的分界面，把人想象成光，“光”在这两种介质中传播速度不同。

人先在湖岸上跑一段距离，就可以把这当成入射光线。人又在水中游一段距离，看作折射光线。那么这就是发生全反射（将要全反射但没达到的瞬间，入射角是九十度）。

根据折射定律，sin A / V1 = sin B / V2
V1 = 4 km/h
V2 = 2 km/h
sin A = sin 90度 =1
所以
sin B = 1/2
所以
B = 30 度

延长小船的路径，和“入射光线”、“折射光线”组合成三角形
由题意知 C （即与岸边夹角）= 15度
有计算得知“折射角”=30度，所以“折射光线”与岸边的夹角（大的）是120度
因此， 做出一个 120度 、 15 度 的三角形

又因为 V1 =2V2
不妨设“入射光线”的长度是 2km
“折射光线”的长度是1km

根据余弦定理

小船的路径的平方
= 入射光线的平方+折射光线的平方 - 2倍 入射光线*折射光线* cos 120度
= 根号7 km

因为小船速度是2.5 km/h
所以小船走这段路程的时间是
根号7/ 2.5 小时
= 根号7* 2/5 小时

人走这段的时间是1 小时
所以很明显这个人追得上

现在再看第二问

只要 距离/速度 < 1 小时 就行了
距离为 根号7 km
所以 速度最大为 根号7 km/h
望采纳

Answer 2

当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船

解析:

不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.
设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用
时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间
为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
由余弦是理得

即
整理得.
要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且
解得.
故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.