Question

如图，在锐角三角形ABC中

如图，在锐角三角形ABC中,AB=4√2，∠BAC==45°，∠BAC的角平分线交BC于点D. 点M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是？

Answer 1

解:AD平分∠BAC,则点N关于直线AD的对称点N'一定在AC上,MN=MN'.
∴BM+MN=BM+MN'.
由于"点到直线上点的所有连线中,垂线段最短",作BH垂直AC于H.
则当N'与H重合,M在BH上时,BM+MN'最小,BM+MN也最小.BM+MN'=BH.
又∠BAC=45°,则⊿ABH为等腰直角三角形,BH=(√2/2)AB=4.
所以,BM+MN的最小值为4.

Answer 2

延长BM交AC与E。
则当MN⊥AB且BM⊥AC时， BM+MN的值最小。此时有MN=ME（角平分线性质）
因为M和N都是动点， 这样的M，N总是可以找到的。
此时BM+MN=4√2/√2=4

Answer 3

BM最小时为BM⊥AD，MN最小时为MN⊥AB
又∵AB=4√2，∠BAD=22.5°
∴BM=4√2*sin22.5°
AM=4√2*cos22.5°
∴MN=4√2*cos22.5°*sin22.5°
∴BM+MN=4√2*sin22.5°（1+cos22.5°）≈4.16

看了下面的解答，我的解答应该有误，请勿采纳，抱歉了。

Answer 4

当MN垂直于AB时BM+MN有最小值

延长BM交AC于点E，使BE垂直于AC于E
过M做MN垂直于AB于N
因为 BE垂直于AC， MN垂直于AB， AD是角BAC平分线
所以 MN=ME
因为∠BEA=90°，∠BAC=45°，AB等于4√2
根据勾股定理 AE=BE=4
既 BM+MN=4