Question

高数书上数列极限例题2，如下不懂求帮助！

例2：已知Xn=(-1)n/(n+1)2,证明数列{Xn}的极限是0.
证：|Xn-a|=|(-1)n/(n+1)2-0|=1/(n+1)2<1/n+1
任意&>0(设&<1)，只要...
我的问题是证明的时候写1/(n+1)2<1/n+1，为什么要这么写，哪来的，是有平方的都这么，写么。
为什么设&<1。真不明白。高手请指教，谢谢！
数学书上的任意那个字符我用&了
我真的很想知道书上这么写的依据，为什么设&<1，还有1/(n+1)2<1/n+1。怎么去平方的有什么定理么。

Answer 1

正数ε的关键是任意小，正整数N的关键是“存在”，有一个即可。
对ε可以限制上界但不能限制下界，比如ε＜1，ε＜1/2等等，这不影响其“任意小”的特质，也可以这样理解，那就是对于一个小一点的ε都可以找到N，那么ε大一点时，还取原来的N，还是能保证|Xn-a|＜ε。
对于N，当|Xn-a|很简单时，可以直接由|Xn-a|＜ε求出n＞N；否则可以先对|Xn-a|放大，放大为一个与n有关且简单的式子，比如放大为1/n的倍数，本题可得|Xn-a|＜1/n，由这个式子小于ε来确定N。
对于本题来说，如果选择|Xn-a|＜1/n，那么ε也不用限定小于1，过程如下：
因为|Xn-a|＜1/n，所以对于任意小的正数ε，要使得|Xn-a|＜ε，只要1/n＜ε，即n＞1/ε即可，选择正整数N=[1/ε]，则n＞N时，恒有|Xn-a|＜ε。所以数列{Xn}的极限是0。

Answer 2

这种写法不必要，书上这样写有两个原因：
1、这样写求出的ε形式比较简单；
2、要我们知道，在做一些较复杂问题时，可以对|Xn-a|的结果做适当的放大，有助于解出结果。

做为本题，由于比较简单，不做这种放大也是可以的。

追问

我真的很想知道书上这么写的依据，为什么设&<1，还有1/(n+1)2<1/n+1。怎么去平方的有什么定理么。你这么解答我不明白的，既然书上这么写了，我数学还不好，我还希望书这么写我能看懂能不能针对我问的问题详解呢。谢谢啦！

追答

因为本题的目的是证明|Xn-a|<ε，先设当ε<1时，若能证明|Xn-a|<ε，则当ε≥1时，结论|Xn-a|<ε成立就是显然的了，因此只需证明ε<1时，结论成立就足够了。

另外，你既然说你数学不太好，建议关于ε-N语言和ε-δ语言你无需再考虑，这些内容在考试中都是不考的（除非你是数学系学生）。这些内容只做为了解就够了。