Question

一道几何题（有一定难度）

已知锐角三角形ABC，∠BAC=60°，AB>AC，△ABC的垂心和外心分别为M和O，OM分别于AB、AC交与X、Y，证明：△AXY的周长为AB+AC，OM=AB-AC。

Answer 1

简单提示一种思路（几何与三角函数结合证明）：
第一个：容易用几何法得到AO⊥XY
那么XY+AX+AY=R/tanC +R/tanB+ R/sinC+R/sinB
由于AB+AC=2RsinC+2RsinB
那么你只要证明：R/tanC +R/tanB+ R/sinC+R/sinB =2RsinC+2RsinB （其中B+C=2π/3）成立即可。

第二个：
方法1：容易得到OMBC四点共圆，那么由托勒密定理容易得到[sqrt（3）/2] *OM=R（cosB-cosC）
显然有sin(B+（π/6）)=sin(C+（π/6）)展开以后就得到：
cosB-cosC=sqrt（3） （sinC-sinB）
所以得到OM=2R（sinC-sinB）=AB-AC

方法2：根据向量（→OA+→OB+→OC）=2* →OM
计算→OM平方，再计算（AB-AC）^2，再计算一下（过程比较多一点，具体计算过程你自己算一下），就可以得到（AB-AC）^2 =（→OM）^2

Answer 2

此题只需用初中几何知识便可解决。 请等待……
字母请自己换过（有些是本人习惯）部分证明如下：
△ABC中∠A=60°，H为垂心，O为外心，
直线OH分别交AB、AC于Q、P，
求证：△APQ的周长=AB+AC，OH=|AB-AC|．
引理：△ABC中H为垂心，O为外心，
　　　M、N分别为AC、AB中点，
　　　则OM=BH/2，ON=CH/2．
证明：若AB=AC，则证明极易(略)；
否则不妨设AB>AC，作高BE、CF(交于H)，
分别取AC、AB中点M、N，
连结OM，作直线ON交直线AC于T， ∵O为△ABC外心，AM＝MC，AN＝NB，
∴OM⊥AC，ON⊥AB，
又H为△ABC垂心，BE、CF为高，
由引例OM=BH/2，ON=CH/2，
且BE⊥AC，CF⊥AB，
∴CF//NT，∠ACF=90°-∠A=∠ABE=30°，
∴OT=2OM=BH，HE=CH/2=ON，
∵CF//NT，∴QO/QH=ON/HF=HE/OM=HP/OP
∴QO/OH=HP/OH，OQ=PH，QH=PO
∴Rt△ONQ≅HEP，∴∠AQP=∠APQ=60°，
∴∠QHB=∠QBH=∠PHC=PCH=30°，
∴△APQ的周长=AQ+QH+AP+PH
　　　　　　 =AQ+QB+AP+PC=AB+AC
　|AB-AC|=|QB-PC|=|QH-HP|=|OP-HP|=OH

引理的证明见:
http://zhidao.baidu.com/question/468098643.html?oldq=1#reply-box-1170293709