Question

数学归纳法的问题！！高手进！！！

用数学归纳法证明1+n/2≤1+1/2+1/3+...+1/(2^n)≤1/2+n

当n=k+1时，
1+1/2+1/3+...+1/2^k+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
>=1+k/2+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
>1+k/2+1/2^(k+1)+...+1/2^(k+1)
>1+k/2+[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)=1+(k+1)/2

1+1/2+1/3+...+1/2^k+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
<=1/2+k+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
<1+k+1/2^k+...+1/2^k
<1+k+[2^(k+1)-2^k]/2^k=1+(k+1)
即n=k+1时，原不等式成立。
故原命题成立。

>1+k/2+[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)=1+(k+1)/2里面的[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)是怎么得到的？

Answer 1

>=1+k/2+1/(2^k+1)+...+1/2^(k+1)
>1+k/2+1/2^(k+1)+...+1/2^(k+1) 到这行你还是懂的，对吧？
但是你还得明白一共有多少个1/2^(k+1)
一共有2^(k+1)-2^k个的1/2^(k+1)

接下去这行的，你的解答里有个小错误
“> ” 应该改成 “ = ”
即
>1+k/2+1/2^(k+1)+...+1/2^(k+1)
=1+k/2+[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)

“这一次的变化 是把2^(k+1)-2^k个的1/2^(k+1)和写成了” 这一句就是对你问题的直接解答！

[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)=1-1/2=1/2

还不清楚的话
hi我或者追问……

追问

那这样证明的话不是不会取到等号吗？？

追答

有的……我们上述复杂的解答过程其实考虑的是n≥2的情况
当n=1的时候，就是取等号的时候了……

追问

我的意思是说当证明n=k+1的时候 不是取不到等号吗？它题目中的取等只是n=1的情况？？

追答

呃 你把我都问糊涂了
解这个题目的过程是
当n=1时
1+n/2=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)=1/2+n
当n≥2时，…………
永远不会取到“=”的
当证明n=k+1（k≠0）的时候 是取不到等号！
因为取等号的时候，我们在一开始的时候已经证明了，无需再证！