Question

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,角平分线BE交AD于点F,过点F做FG∥BC,交AC于点G,求证:AE=CG.

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,角平分线BE交AD于点F,过点F做FG∥BC,交AC于点G,求证:AE=CG.

Answer 1

证明：过点E作EH垂直BC于H
所以角BHE=角CHE=90度
因为角BAC=90度
所以角BAC=角BHE=90度
因为BE平分角ABC
所以角ABE=角CBE
因为BE=BE
所以三角形ABE和三角形HBE全等（AAS)
所以AE=EH
因为AD垂直BC于D
所以角ADC=90度
因为角ADC+角C+角DAC=180度
所以角DAC+角C=角BAD+角DAC=角BAC=90度
所以角BAD=角C
因为角AFE=角ABE+角BAD
角AEF=角C+角CBE
所以角AFE=角AEF
所以AE=AF
所以AF=EH
因为FG平行BC
所以角AFG=角ADC=90度
角AGF=角C
所以角AFG=角EHC=90度
所以直角三角形AFG和直角三角形EHC全等（AAS)
所以AG=EC
因为AG=AE+EG
EC=EG+CG
所以AE=CG

Answer 2

过点G做GH∥EB,交BC于点H，则BFGH为平行四边形，GH=FB。
因∠GHC=∠FBC=∠FBA、GH=FB、又易知∠C=∠BAF，故⊿GHC≌⊿FBA，得CG=AF。
因∠AEF=∠C+EBC、∠AFE=∠BAF+∠FBA，故∠AEF=∠AFE，得AF=AE，
证得：AE=CG 。