Question

定积分存在性的两道题

① 对于分段函数f(x)=sin(1/x),x≠0；f(x)=0,x=0。书上说该函数是有界函数所以在闭区间[-2,2]存在定积分，可是仔细想想当x->0时sin(1/x)虽然有界但在这个无限趋于零的过程中你并不能真正确定这个值，既然没有一个定值何来定积分呢？
② 对分段函数f(x)=d[xsin(1/x)]/dx，x≠0；f(x)=0，x=0。书上说由于f(x),x≠0是发散的，所以不存在定积分，可是我觉得F(x)=xsin(1/x)在x->0时的极限为0那么在求定积分的时候F(2)-F(0)是存在的呗？？

Answer 1

定积分存在性的两个结论：
f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。
f(x)在[a,b]上连续(或有界且只有有限个间断点)，则f(x)在[a,b]上可积。
第一题满足结论2，f(x)在[-2,2]上有界|f(x)|≤1，只有一个间断点0，所以f(x)在[-2,2]上可积。
第二题满足结论1的逆否命题：无界则不可积。x≠0时，f(x)=sin(1/x)-1/x*cos(1/x)，在0点附近无界。
这个两个可积的问题都不是通过用公式计算定积分来判断的，而是用定积分的定义，或者说用极限的基本理论。如果你不是数学系的，只要掌握几个结论并会使用即可。

Answer 2

你说的这两个问题实质是一样的。

只是这两个积分无法用我们平时的积分方法来求得积分值。但积分的公式是成立的。

追问

什么实质？

追答

这种积分在书上称叫广义积分，类似于[0,+∞)这种积分。但积分值却不可以通过第一类和第二类积分法获得