求解微分方程:y'-y=-sinx
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具体回答如下:
先求齐次线性微分方程:dy/dx=y
lny=c+x
y=e^(x+c)
常数变异
y=c(x)e^x
dy/dx=dc(x)/dx*e^x+c(x)*e^x
带入原方程得:dc(x)/dx=-sin(x)*e^(-x)
两边同时积分得:c(x)=-1/2(sin(x)+cos(x))*e^(-x)+c
带入:y=-1/2(sin(x)+cos(x))+c*e^x
约束条件:
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
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这个题用积分因子来做
原式化为dy-ydx=-sinxdx,两边同时乘以积分因子e^(-x)
再积分得ye^(-x)=∫【-e^(-x)】sinxdx+c即
y=(e^x)∫【-e^(-x)】sinxdx+ce^x
右边那个积分用分部积分法做 ,很简单的
原式化为dy-ydx=-sinxdx,两边同时乘以积分因子e^(-x)
再积分得ye^(-x)=∫【-e^(-x)】sinxdx+c即
y=(e^x)∫【-e^(-x)】sinxdx+ce^x
右边那个积分用分部积分法做 ,很简单的
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令y'-y=0,
dy/dx=y,
dy/y=dx,
lny=x+lnC1,
y=C1e^x,
令y=ve^x,(1)
dy/dx=e^x*dv/dx+v*e^x,
代入原微分方程,
e^x*dv/dx+v*e^x-ve^x=-sinx,
e^x*dv/dx=-sinx,
dv/dx=-sinx*e^(-x),
v=-∫sinxe^(-x)dx
用分部积分法,
v=(1/2)e^(-x)sinx+(1/2)e^(-x)cosx+C,
代入(1)式,
y=e^x[1/2)e^(-x)sinx+(1/2)e^(-x)cosx+C]
=(1/2)(sinx+cosx+Ce^x).
是用参数变易法。
dy/dx=y,
dy/y=dx,
lny=x+lnC1,
y=C1e^x,
令y=ve^x,(1)
dy/dx=e^x*dv/dx+v*e^x,
代入原微分方程,
e^x*dv/dx+v*e^x-ve^x=-sinx,
e^x*dv/dx=-sinx,
dv/dx=-sinx*e^(-x),
v=-∫sinxe^(-x)dx
用分部积分法,
v=(1/2)e^(-x)sinx+(1/2)e^(-x)cosx+C,
代入(1)式,
y=e^x[1/2)e^(-x)sinx+(1/2)e^(-x)cosx+C]
=(1/2)(sinx+cosx+Ce^x).
是用参数变易法。
追问
v=-∫sinxe^(-x)dx
过程能写详细点吗,就这里不会积分了
追答
设u=sinx,v'=e^(-x),
u'=cosx,v=-e^(-x),
∫sinxe^(-x)dx=-e^(-x)sinx+∫cosxe^(-x)dx,
∫cosxe^(-x)dx,
设u=cosx,v'=e^(-x),
u'=-sinx,v=-e^(-x),
∫cosxe^(-x)dx=-e^(-x)cosx-∫sinxe^(-x)dx,
∫sinxe^(-x)dx=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-∫sinxe^(-x)dx,
右边积分移到左边,
2∫sinxe^(-x)dx=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx+C',
∴∫sinxe^(-x)dx=[-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx+C]/2,
因原来前面有负号,
∴v=-∫sinxe^(-x)dx=[e^(-x)sinx+e^(-x)cosx]/2。
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y'-y=-sinx ……1
y'-y=0…………2
对1
设y=Asinx+Bcosx
可得A=B=1/2
对2
可得 y=C*e^x
通解 y= 1/2(sinx+cosx)+Ce^x ( C为任意常数)
y'-y=0…………2
对1
设y=Asinx+Bcosx
可得A=B=1/2
对2
可得 y=C*e^x
通解 y= 1/2(sinx+cosx)+Ce^x ( C为任意常数)
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先求齐次线性微分方程:
dy/dx=y
lny=c+x
y=e^(x+c)
常数变异
y=c(x)e^x
dy/dx=dc(x)/dx*e^x+c(x)*e^x
带入原方程得
dc(x)/dx=-sin(x)*e^(-x)
两边同时积分得
c(x)=-1/2(sin(x)+cos(x))*e^(-x)+c
带入
y=-1/2(sin(x)+cos(x))+c*e^x
dy/dx=y
lny=c+x
y=e^(x+c)
常数变异
y=c(x)e^x
dy/dx=dc(x)/dx*e^x+c(x)*e^x
带入原方程得
dc(x)/dx=-sin(x)*e^(-x)
两边同时积分得
c(x)=-1/2(sin(x)+cos(x))*e^(-x)+c
带入
y=-1/2(sin(x)+cos(x))+c*e^x
追问
∫sinxe^(-x)dx
过程能写详细点吗,就这里不会积分
追答
dc(x)/dx=-sin(x)*e^(-x)
-∫sinxe^(-x)dx
=∫sinxde^(-x)
=sinxe^(-x)-∫cosxe^(-x)dx
=sinxe^(-x)+∫cosxde^(-x)
= sinxe^(-x)+cosxe^(-x)+∫sinxe^(-x)dx
得 -2∫sinxe^(-x)dx= sinxe^(-x)+cosxe^(-x)
∫sinxe^(-x)dx= (sinxe^(-x)+cosxe^(-x))/2
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