Question

求解微分方程:y'-y=-sinx

Answer 1

具体回答如下：

先求齐次线性微分方程：dy/dx=y

lny=c+x

y=e^(x+c)

常数变异

y=c(x)e^x

dy/dx=dc(x)/dx*e^x+c(x)*e^x

带入原方程得：dc(x)/dx=-sin(x)*e^(-x)

两边同时积分得：c(x)=-1/2(sin(x)+cos(x))*e^(-x)+c

带入：y=-1/2(sin(x)+cos(x))+c*e^x

约束条件：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

Answer 2

这个题用积分因子来做
原式化为dy-ydx=-sinxdx，两边同时乘以积分因子e^（-x）
再积分得ye^（-x）=∫【-e^（-x）】sinxdx+c即
y=（e^x）∫【-e^（-x）】sinxdx+ce^x
右边那个积分用分部积分法做 ，很简单的

Answer 3

令y'-y=0,
dy/dx=y,
dy/y=dx,
lny=x+lnC1,
y=C1e^x,
令y=ve^x,(1)
dy/dx=e^x*dv/dx+v*e^x,
代入原微分方程，
e^x*dv/dx+v*e^x-ve^x=-sinx,
e^x*dv/dx=-sinx,
dv/dx=-sinx*e^(-x),
v=-∫sinxe^(-x)dx
用分部积分法，
v=(1/2)e^(-x)sinx+(1/2)e^(-x)cosx+C,
代入（1）式，
y=e^x[1/2)e^(-x)sinx+(1/2)e^(-x)cosx+C]
=(1/2)(sinx+cosx+Ce^x).
是用参数变易法。

追问

v=-∫sinxe^(-x)dx
过程能写详细点吗,就这里不会积分了

追答

设u=sinx,v'=e^(-x),
u'=cosx,v=-e^(-x),
∫sinxe^(-x)dx=-e^(-x)sinx+∫cosxe^(-x)dx,
∫cosxe^(-x)dx,
设u=cosx,v'=e^(-x),
u'=-sinx,v=-e^(-x),
∫cosxe^(-x)dx=-e^(-x)cosx-∫sinxe^(-x)dx,
∫sinxe^(-x)dx=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-∫sinxe^(-x)dx,
右边积分移到左边，
2∫sinxe^(-x)dx=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx+C'，
∴∫sinxe^(-x)dx=[-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx+C]/2，
因原来前面有负号，
∴v=-∫sinxe^(-x)dx=[e^(-x)sinx+e^(-x)cosx]/2。

Answer 4

y'-y=-sinx ……1
y'-y=0…………2

对1
设y=Asinx+Bcosx
可得A=B=1/2

对2
可得 y=C*e^x

通解 y= 1/2(sinx+cosx)+Ce^x （ C为任意常数）

Answer 5

先求齐次线性微分方程：
dy/dx=y
lny=c+x
y=e^(x+c)
常数变异
y=c(x)e^x
dy/dx=dc(x)/dx*e^x+c(x)*e^x
带入原方程得
dc(x)/dx=-sin(x)*e^(-x)
两边同时积分得
c(x)=-1/2(sin(x)+cos(x))*e^(-x)+c
带入
y=-1/2(sin(x)+cos(x))+c*e^x

追问

∫sinxe^(-x)dx
过程能写详细点吗,就这里不会积分

追答

dc(x)/dx=-sin(x)*e^(-x)
-∫sinxe^(-x)dx
=∫sinxde^(-x)
=sinxe^(-x)-∫cosxe^(-x)dx
=sinxe^(-x)+∫cosxde^(-x)
= sinxe^(-x)+cosxe^(-x)+∫sinxe^(-x)dx
得 -2∫sinxe^(-x)dx= sinxe^(-x)+cosxe^(-x)
∫sinxe^(-x)dx= (sinxe^(-x)+cosxe^(-x))/2