Question

微积分中一道关于原函数存在性的题

对分段函数f(x)=∫(0,x)g(t)dt,g(x)=(x^2+1)/2,x<1;g(x)=(x-1)/3,x≥1。书上说[-2,3]上存在原函数。
请问：当x<1，f(x)=∫(0,x)(x^2+1)/2dx；x≥1，f(x)=∫(0,x)(x-1)/3dx。当x->1时左半段函数的极限=1而f(1)=0，则x=1是f(x)的第一类间断点。根据原函数存在性定理可知其在[-2,3]不存在原函数。与答案矛盾，这是为何？

Answer 1

“x≥1，f(x)=∫(0,x)(x-1)/3dx”是错误的，应该把积分区间拆开为0到1与1到x。
f(x)是连续函数，存在原函数。

Answer 2

你的极限和函数值都是对g(x)来求的，f(x)是g(x)的变上限积分，两码事。

追问

f(x)是g(x)的变上限积分所以x≥1时有f(x)=∫(0,x)(x-1)/3dx，f(1)=-1/6；x1)=2/3。可知f(x)在x=1第一类间断所以没有原函数。。。。。？？？

追答

f(x)是从0开始到x的积分，x>=1时，不是你那样积分的，要分段积分！！！