Question

简谐运动的微分方程如何解

Answer 1

用牛顿第二定律列方程：
F=ma
其中F为弹力，遵守胡克定律F=-kx，x为位移；m为质量，式中为常数；a为x的二阶导数。即：
-kx=m(d²x/dt²)
整理成标准形式的二阶线性微分方程：
(d²x/dt²)+(k/m)x=0
其特征方程为：r²+(k/m)=0
解得特征根为：±√(k/m)i………………i为虚数单位
故微分方程的通解为：
Acos[t√(k/m)]+Bsin[t√(k/m)]………………A和B为任意常数，由初始位置和速度决定
或者写成单三角函数的形式：
Acos(ωt+φ)………………其中ω=√(k/m)
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线。
扩展资料：
简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；
简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。
对位移的推导使用三角函数的有关知识（ωt+φ）即角度，运用三角函数便求出了O点与结束位置的距离，即位移。（位移为负数，即设定左边方向为正方向）所以得出方程x=Rcos（ωt+φ）。
参考资料来源：百度百科——简谐运动

Answer 2

无阻尼的简谐自由运动的微分方程：
mx''+kx=0 (1)
初始条件:
x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2)
(1)的特征方程：ms^2+k=0 (3)
解出： s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4)
(1)的通解：x(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) （5）
根据（2）-> C1+C2=x0
C1s1+C2s2=x'0
解出C1,C2，代入s1，s2 就可以得到（1）的通解

对于强迫振动，方程为： mx''+kx=f(t) (6)
其解法是：先找出（6）的特解，再与（5）相加，就是(6)的通解。
对于有阻尼的振动，解法略微复杂一点。