Question

设实数a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0 有实根，求a^2+b^2的最小值 谢谢啦！

Answer 1

由已知a,b,x满足的关系式知 b= - (x+1/x)a-(x^2+1/x^2)，于是a^2+b^2=[(x+1/x)^2+1]a^2+2(x+1/x)(x^2+1/x^2)a+(x^2+1/x^2)^2，固定x，a^2+b^2的最小值为[(x^2+1/x^2)^2]/[x+1/x)^2+1]，令x^2+1/x^2=y (y>=2)，则此最小值为y^2/(y+3)，求导或由定义可知在y>=2上这是一个递增函数，所以y=2，x=+ -1，a= - +(4/5)，b= - 2/5 时，a^2+b^2取最小值4/5。