数列的求和方法?

等比和等差,具体举例... 等比和等差,具体举例 展开
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翔嘻
2012-08-31
知道答主
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1. 公式法:  等差数列求和公式:
  Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
  等比数列求和公式:
  Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
  其他
  1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
  1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.错位相减法
  适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
  例如:
  an=a1+(n-1)d
  bn=b1·q^(n-1)
  Cn=anbn
  Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
  qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
  Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
  Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①
  =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
  =a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
  Tn=上述式子/(1-q)
  此外.①式可变形为
  Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和.
  此形式更理解也好记
3.倒序相加法
  这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
  Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
  Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1
  上下相加 得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/2
4.分组法
  有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
  例如:an=2^n+n-1
5.裂项法
  适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。
  常用公式:
  (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/(n-1)-1/n<1/n2<1/n-1/n+1(n≥2)
  (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
  (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
  (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
  (5) n·n!=(n+1)!-n!
  (6)1/(√n+√(n+a))=1/a(√(n+a)-√n)
  [例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
  解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)
  则
  Sn
  =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)
  = 1-1/(n+1)
  = n/(n+1)
  小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
  注意: 余下的项具有如下的特点
  1余下的项前后的位置前后是对称的。
  2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
  一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:
  (1)证明当n取第一个值时命题成立;
  (2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
  例:
  求证:
  1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
  证明:
  当n=1时,有:
  1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
  假设命题在n=k时成立,于是:
  1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
  则当n=k+1时有:
  1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
  = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
  = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
  = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
  = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
  即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证
7.通项化归
  先将通项公式进行化简,再进行求和。
  如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出,再利用分组等方法求和。
8.并项求和:
  例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
  方法一:(并项)
  求出奇数项和偶数项的和,再相减。
  方法二:
  (1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
巨星李小龙
2012-08-28 · TA获得超过5094个赞
知道大有可为答主
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主要这几种方法:定义法(等差数列和等比数列)、叠加法、错位相减法(一个等差数列乘以一个等比数列)、分组求和法(一般是一个等比数列加上一个等差数列)、裂项相消法(如1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其实就是运用了公式:
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 这就是裂项)、套用公式法(如已知an=n^2 求sn ,便可运用公式:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1) 这种只能靠记住一下常用公式)除此之外,还有其他的一些方法,靠你在实战中去不断总结吧!
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夜未央leaf
2012-09-04
知道答主
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叠加法,叠乘法,待定系数法,取对法,枚举法,公式法,分组求和,倒序求和,错项相减,裂项相消。
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高中数学知识小库
2012-08-28 · TA获得超过159个赞
知道答主
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1,采用等差等比数列的求和公式
2.倒序相加法
3裂项相消
4等差与等比相乘的采用错位相减法
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