Question

【高中数学】设命题P:函数f(x)=x^3-ax-1在区间[1,-1]上单调递减；命题q:函数y=ln(x^2+ax+1)的值域

设命题P:函数f(x)=x^3-ax-1在区间[1,-1]上单调递减；命题q:函数y=ln(x^2+ax+1)的值域是R.如果命题p或q为真，p且q为假命题，求a的取值范围。

我想问的是：q：:y=ln(x^2+ax+1)的值域是R，所以x^2+ax+1的值域包含（0，+∞），为什么△≥0就可以了，这样不是可能会出现x^2+ax+1=0吗？

Answer 1

y=ln(x^2+ax+1)的值域是R和定义域是R这两个题是很容易出错的。
（1）定义域是R，我相信你一定也认为△<0，这的确是正确的。
（2）值域是R，就不是△<0，应该△≥0，为什么呢？
令t=x^2+ax+1，则y=lnt,这是个复合函数，要使y值域为R则必须t取遍（0，+∞）.
【注意：是取遍（0，+∞），不是t>0】
如果没取遍（0，+∞），比如t是[1，+∞），那么显然y值域为[0，+∞）不是R。
既然t要取遍（0，+∞），对于二次函数t=x^2+ax+1来讲，图像定点就必须在x轴或x轴下方（△≥0），这样才能使t的范围包含（0，+∞）。
【注意：这里有个误会，很多学生认为，既然t的范围包含（0，+∞），那就有0或负数产生，y=lnt不就没意义了嘛。其实不是，对于y=lnt求值域时，t的范围是和t>0这个条件求交集后才是真正的t的范围。 比如y=ln(1-x^2)，这个函数的t范围是（-∞，1]，有负数了，那是不是没有值域呢，不是的对吧，你肯定会说t范围是（0，1]。对了，就是这个道理】

追问

但解这道题只用了△≥0，并没有挖去0和负数的部分（也就是说，并没有用x^2+ax+1＞0)，这样取出的a的范围中不会有使x^2+ax+1≤0的吗？ 谢谢

追答

你还是没有理解到我最后一段话的意义，△≥0，的确x^2+ax+1＞0，=0，0求交集，得到0<1-x^2≤1，这就是x^2+ax+1只需要△≥0的道理。

在比如x^2+ax+1中令a=-2，则x^2-2x+1=（x-1）^2，你算算y=ln[（x-1）^2]，你看看有没有值域，值域是不是R，有没有因为（x-1）^2可以为零而产生错误。

追问

也就是说，x^2+ax+1＞0在这道题中已经是确定的，所以，只要△≥0就可以了，对不对？

追答

不只是这道题，所有的对数型函数求值域，都是要自带真数大于零的。
还有一种想法也行，比如上面我提到，你真数t算出来是（-∞，1]，你依然画出y=lnt的图像，在（0，1]上有图，（-∞，0]上没图，没图的部分没函数值就行了，所以这时（-∞，1]和（0，1]上的函数值域是一致的。
“ y=ln(x^2+ax+1)的值域是R和定义域是R"这两个问题是学生普遍出错的，的确很难理解，需要慢慢思考消化

Answer 2

你的题目我没看。。。就看了你的问题
△≥0表示有解，跟整个式子的值没关系啊。。。△=0表示有两个相同解，但不代表解就是0