Question

已知公差不为零的等差数列{an}与等比数列{bn}中，b1=a2=1，b2=a3，b3=a6 （1）求数列{an}{bn}通项公式

（2）设cn=[（an +1）λ ^n]/2 +2^n(λ ≠0），求数列{cn}的前n项和
（3）证明cn+1/cn≤c2/c1对任意n∈N+均成立

Answer 1

解：(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q
an=a1+(n-1)d, bn=b1q(n-1)
a2=a1+d=1, a3=a1+2d=a2+d=1+d, a6=a1+5d=a2+4d=1+4d;
b2=b1q=q, b3=a1q2=q2
b2=a3，b3=a6

即：q=1+d, q2=1+4d

所以：q=3,d=2
an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=1+(n-2)x2=2n-3
bn=b1xq(n-1)=1xq(n-1)=q(n-1)

追问

我主要问第三问！

追答

看不懂（2）设cn=[（an +1）λ ^n]/2 +2^n(λ ≠0）数列的通式，不知道你的^符号是什么意思所以，cn的通式......

追问

λ 的n次方
^代表前面的数或字母的几次方

追答

解：(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q
an=a1+(n-1)d, bn=b1q(n-1)
a2=a1+d=1, a3=a1+2d=a2+d=1+d, a6=a1+5d=a2+4d=1+4d;
b2=b1q=q, b3=a1q2=q2
b2=a3，b3=a6
即：q=1+d,
q2=1+4d
所以：q=3,d=2
an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=1+(n-2)x2=2n-3
bn=b1xq(n-1)=1xq(n-1)=q(n-1)
(2)
cn=[（an +1）λ ^n]/2 +2^n==[（2n-3+1）λ ^n]/2 +2^n=[（2n-2）λ ^n]/2 +2^n
=（n-1）λ ^n+2^n
sn=c1+c2+....+cn=1+λ ^2+4+...+（n-1）λ ^n+2^n
=[λ-λ^(n+1)*n+λ^(n+2)*(n-1)]/(1-λ)^2-2(1-2^n)
(3)
c1=1, c2=λ ^2+4
c2/c1=λ ^2+4
cn+1/cn=[nλ ^(n+1)+2^(n+1)]/[(n-1)λ ^n+2^n]
=[nλ x λ ^n+2x2^n]
/[(n-1)λ ^n+2^n]
≤λ ^2+4= c2/c1
即：cn+1≤c2/c1