Question

已知函数f(x)=-1/2x^2+x在区间[m,n]上的值域是[3m,3n]，求m,n的值

Answer 1

f(x)=-x2/2+x
=-1/2(x²-2x+1)+1/2
=-1/2(x-1)²+1/2
1) m<n≤1时，
f(x)在[m,n]上递增
若值域为[3m,3n],
则-m²/2+m=3m
-n²/2+n=3n
∴m=-4,n=0
2)m≤1<n时，
f(x)max=1/2,
若值域为[3m,3n],
则3n=1/2,n=1/6与n>1矛盾
3）
当1<m<n时，
f(x)在[m,n]上递减,且f(x)<1/2
值域为[3m,3n],
3n<1/2,矛盾
综上，符合条件的m,n的值为
m=-4,n=0

Answer 2

m=-4，n=0 原因f（x）值域为负无穷大到二分之一，所以3n小于等于二分之一，所以n小于等于六分之一，对称轴x=1，m小于n小于等于六分之一，所以m，n都在对称轴左边且单调增，所以m，n是方程-1/2x^2+x=3x的两解，又因为m<n，所以m=-4，n=0

Answer 3

f(x)=-x2/2+x
=-1/2(x²-2x+1)+1/2
=-1/2(x-1)²+1/2
1)
m<n≤1时，
f(x)在[m,n]上递增
若值域为[3m,3n],
则-m²/2+m=3m
-n²/2+n=3n
∴m=-4,n=0
2)m≤1<n时，
f(x)max=1/2,
若值域为[3m,3n],
则3n=1/2,n=1/6与n>1矛盾
3)
当1<m<n时，
f(x)在[m,n]上递减,且f(x)<1/2
值域为[3m,3n],
3n<1/2,矛盾
综上，符合条件的m,n的值为
m=-4,n=0

Answer 4

依题意可知m n 分别是关于方程-1/2x^2+x=3x的两解,且m<n
解得m=-4,n=0

Answer 5

f(x)=-x2/2+x
=-1/2(x²-2x+1)+1/2
=-1/2(x-1)²+1/2
1)
m<n≤1时，
f(x)在[m,n]上递增
若
值域
为[3m,3n],
则-m²/2+m=3m
-n²/2+n=3n
∴m=-4,n=0
2)m≤1<n时，
f(x)max=1/2,
若值域为[3m,3n],
则3n=1/2,n=1/6与n>1矛盾
3）
当1<m<n时，
f(x)在[m,n]上递减,且f(x)<1/2
值域为[3m,3n],
3n<1/2,矛盾
综上，符合条件的m,n的值为
m=-4,n=0