Question

函数y=loga (x+3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则1/m+1/n的最小值

Answer 1

函数y=loga (x+3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A

x=-2
y=loga1-1=0-1=-1
所以
-2m-n+1=0
2m+n=1 m,n>0
1/m+1/n
=(2m+n)/m+(2m+n)/n
=2+n/m+2m/n+1
=3+ n/m+2m/n
>=3+2√n/m*2m/n
=3+2√2
所以
最小值=3+2√2

Answer 2

x=-2，y=loga(1)-1=-1
所以A(-2,-1)
所以-2m-n+1=0
2m+n=1

(1/m+2/n)*1
=(1/m+2/n)(2m+n)
=4+2(m/n+n/m)
mn>0
所以m/n>0,n/m>0
所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2
当m/n=n/m，m=n时取等号
2m+n=1,m=n,有解，等号能取到
所以最小值=4+2*2=8