Question

请教一种求不定积分的方法

老师您好~请教一下高数的问题。
最近老师说了一种解题方法叫大除法。我有点搞不懂。比如说求t^6/t-1 这个式子的不定积分。我看老师用的方法是用t^6除以t-1,得出的结果是 t^5+t^4+t^3+t^2+t+1+1/t-1 我不明白1/t-1是怎么算出来的。
还有一题：u^2/u^2-2u-3 求这个不定积分。怎么用这种方法呢？
谢谢您了！

Answer 1

如果你不会大除法，也可以用凑的方法：（这里不方便写大除法）
t^6/(t-1)
=(t^6-t^5+t^5-t^4+t^4-t^3+t^3-t^2+t^2-t+t-1+1)/(t-1)
=[t^5(t-1)+t^4(t-1)+t³(t-1)+t²(t-1)+t(t-1)+(t-1)+1)/(t-1)
=t^5 + t^4 + t³ + t² + t + 1 + 1/(t-1)

∫ u²/(u²-2u-3) du
=∫(u²-2u-3+2u+3)/(u²-2u-3)du
=∫1du+∫(2u+3)/(u²-2u-3)du
=u+∫(2u+3)/[(u-3)(u+1)]du
=u-(1/4)∫1/(u+1)du+(9/4)∫1/(u-3)du
=u-(1/4)ln|u+1|+(9/4)ln|u-3|+C

其中：设(2u+3)/(u²-2u-3)=A/(u+1)+B/(u-3)
将右边通分相加后与左边比较系数得：A=-1/4，B=9/4

追问

谢谢您了！！还有一道关于二重积分的题目。
x=rcost y=rsint
下限0 上限0.75π dt 下限0 上限2sint f(rcost,rsint)rdr 像这种题目 要先画出图形，但是这个图形应该从哪里着手来画呢？？、

追答

x=rcost y=rsint

这是圆的参数方程，就是x²+y²=r²

追问

这个怎么看出来是一个圆的方程啊？我不太明白怎么从极坐标的表达式 转换成 直角坐标的表达式。比如说 上限2sint怎么转换？

追答

两个式子平方求和，这是中学知识了。

追问

您能具体说下对“下限0 上限0.75π dt 下限0 上限2sint f(rcost,rsint)rdr ”这个题目 转换成直角坐标的步骤吗？

追答

题目要求把这个转化为直角坐标吗？这题明显是极坐标要简单啊

需要先画出 r=2sint 的图形，作法：两边同乘以r
r²=2rsint，得x²+y²=2y，即x²+(y-1)²=1，自己画图，t取0到3π/4
原式=∫[-1→0]dx ∫[-x→1-√(1-x²)] f(x,y)dy
+∫[0→1]dx ∫[1-√(1-x²)→1+√(1-x²)] f(x,y)dy

Answer 2

有理函数积分，书上写得很详细。