Question

已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1当且仅当x=-1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4

(1)求a,b的值 (2)求f(x)的极大值和极小值

Answer 1

对f(x)求导，得
f'(x)=5x4+3ax2+b=0的解是x=+/-1
即5+3a+b=0...................................................................(1)
又 |f(1)-f(-1)|=4
即|(1+a+b+1)-(-1-a-b+1)|=4 简化得 |a+b+1|=2.........(2)
由(1)和(2) 解得：
a=-3,b=4 或
a=-1,b=-2

将a=-3,b=4 ，x=-1和x=1带入函数，得极值
极大值x1=3,极小值x2=-1
将a=-1,b=-2 ，x=-1和x=1带入函数，得极值
极大值x1=3,极小值x2=-1
故该函数的极大值和极小值分别是3和-1

Answer 2

解：
(1) f(x)=x^5+ax^3+bx+1, f'(x)=5x^4+3ax^2+b
由题意得：f'(1)=f'(-1)=0, 即5+3a+b=0（*）
f(1)=2+a+b, f(-1)=-a-b
当f(1)为极大值，f(-1)为极小值时：f(1)-f(-1)=2+2a+2b=4, 结合（*）解得a=-3,b=4
当f(1)为极小值，f(-1)为极大值时：f(-1)-f(1)=-2-2a-2b=4, 结合（*）解得a=-1,b=-2
(2) 由（1）得：a=-3，b=4时极大值f(1)=3，极小值f(-1)=-1
a=-1，b=-2时极大值f(-1)=3，极小值f(1)=-1