Question

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD于点O,过点A作AE⊥BC于点E，若BC=2AD=8，则tan∠ABE=

图片找不到了，大家脑补吧，别抄袭

Answer 1

过D点作DF∥AC交BC的延长线于点F，

∵AD∥BC

∴四边形ACFD是平行四边形

∴AD=CF=BC/2=4    AC=DF

∴BF=BC+CF=8+4=12

∵AB=AC

∴梯形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD=DF

∵AC⊥BD

∴BD⊥DF

∴△BDF是等腰直角三角形

∴AC=BD=12÷ √2 =6√2 

∠F=∠ACE=45°

∵AE⊥BC

∴△AEC是等腰直角三角形

∴AE=EC

∴AE=EC= √2/2×6√2=6

∴BE=BC-EC=8-6=2

∴tan∠ABE=AE /BE =6/ 2 =3． 

Answer 2

解析，
AB=DC，
因此，梯形ABCD是等腰梯形，又，AC和BD交于点O
故，BO=CO，
又AC⊥BD，
故，∠BCO=∠OBC=45º
AE⊥BC，
故，AE=EC，
又，BC=2AD=8，
那么，BE=2，EC=AE=6，
tan∠ABE=AE/BE=3。

Answer 3

解：过点A作AF//BD，交CB延长线于点F。
因为 AC垂直于BD，
所以 AC垂直于AF，
因为 在梯形ABCD中，AB=DC，
所以 AC=BD（等腰梯形对角线相等），
因为 AD//BC，AF//BD，
所以 AF=BD，FB=AD（平行线间的平行线段相等），
所以 AC=AF，FC=AD+BC=2+8=10，
因为 AC=AF，AC垂直于AF，
所以 三角形ACF是等腰直角三角形，
又因为 AE垂直于BC于点E，
所以 AE=EC=FC/2=5，
所以 BE=EC--BC=5--2=3，
所以 tan角ABE=AE/BE=5/3。

Answer 4

由于AB=CD、∠ABC=∠DCB、BC=CB，所以△ABC≌△DCB
所以∠OAB=∠ODC
由于∠AOB=∠DOC，AB=DC
所以△AOB≌△DOC
所以AO=DO，BO=CO
根据等腰直角三角形的性质，可知AO=AD(√2)/2=2√2，BO=BC(√2)/2=4√2
于是AB=√(AO×AO+BO×BO)=2√10
BE=(8-4)/2=2
根据勾股定理，AE=6
所以tan∠ABE=3