Question

已知向量a=(√3sinωx,cosωx),b=(cosωx,-cosωx)

函数f(x)=a·b+1/2的图像的两相邻对称轴间的距离为π/4
(1)若x∈（7π/24,5π/12),f(x)=-3/5,求cos4x的值
（2）若cosx>=1/2,x∈(0,π),且f(x)=m有且仅有一个实根，求实数m的值

Answer 1

f(x)=a·b+1/2
=√3sinωxcosωx-cos²ωx+1/2
=√3sin﹙2ωx﹚／2-½cos2ωx
=sin﹙2ωx－π／6),
∵函数f(x)=a·b+1/2的图像的两相邻对称轴间的距离为π/4
∴T=π/2
∴2π/﹙2ω﹚=π/2
∴ω=2
(1)若x∈（7π/24,5π/12),f(x)=-3/5,求cos4x的值
sin﹙4x－π／6)=-3/5
∵x∈（7π/24,5π/12),
∴4x－π／6∈﹙π,3π/2﹚
∴cos﹙4x－π／6)=﹣√[1-﹙﹣3／5﹚²]=﹣4／5
∴cos4x＝cos﹙4x－π／6)cos﹙π／6)-sin﹙4x－π／6)sin﹙π／6)
=﹣4／5·√3／2＋3/5·½
=﹙3-4√3﹚／10

（2）若cosx>=1/2,x∈(0,π),且f(x)=m有且仅有一个实根，求实数m的值
∵cosx≥1/2,x∈(0,π)
∴x∈﹙0，π／3]
sin﹙4x－π／6)=m，x∈﹙0，π／3]
m=﹣1／2或1