Question

如图∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²。(1)求证：AB=BC;(2)当BE⊥AD于E时 证BE=AE+CD.

Answer 1

 

证明：如图，连接AC，做CF⊥BE

（1）

易知AD²+CD²=AC²,由于AD²+CD²=2AB²

所以2AB²=AC²,由于AB²+BC²=AC²

所以2AB²=AB²+BC²,于是,AB²=BC²

即,AB=BC

 

（2）

易知矩形CDEF,所以EF=CD

由（1）知AB=BC，

又AEB=90°=BFC

且A+ABE=90°=ABE+FBC,则A=FBC

所以△ABE与△FBC全等

所以BF=AE

则BE=BF+FE=AE+CD

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答

⑴连接AC，∵∠D=90°，∴AC^2=AD^2+CD^2，∵AD^2+CD^2=2AB^2，
∴AC^2=2AB^2，
∵∠ABC=90°，∴AC^2=AB^2+BC^2，
∴AB^2+BC^2=2AB^2，AB^2=BC^2，
∴AB=BC。
⑵过C作CF⊥BE于F，则四边形CDEF是矩形(有三个角是直角 的四边形是矩形)，
∴CD=EF，
∵∠ABE+∠FBC=90°，∠BCF+∠FBC=90°，∴∠ABE=∠BCF，
又AB=BC，∠AEB=∠BFC=90°，
∴ΔABE≌ΔBCF，
∴AE=BF，
∴BE=BE+EF=AE+CD。

Answer 3

1、
∵CD⊥AD
∴△ACD为直角三角形
AD²+CD²=AC²
∵AD²+CD²=2AB²
∴AC²=2AB²
直角三角形ABC中
AB²+BC²=AC²
∴BC²=2AB²-AB²
=AB²
∴BC=AB
2、
过C做CF//AD交BE于F
二直角三角形ABE和BCF中
∠A+∠ABE=90
∠ABE+∠CBF=90
∴∠ABE=∠BCF
二直角三角形ABE与BCF
∠ABE=∠BCF
∠ABC=∠BFC=90
AB=BC
∴△ABE≌△BCF
∴BF=AE
由已知条件可得四边CDEF为矩形
即CD=EF
∴BE=BF+EF
即BE=AE+CD

Answer 4

证明：连接AC，因为CD⊥AD，
所以AD²+CD²=AC²
因为AD²+CD²=2AB²
所以2AB²=AC²，所以AC=√2AB
又因为∠ABC=90°，
所以△ABC是直角三角形，
所以AB²+BC²=AC²
所以AB=BC
（2）过点D作BC的平行线，交BE于点F，连接AF，AC，BD
根据圆内直角三角形定义，AC是圆直径
BE⊥AD，CD⊥AD
所以BE//CD
所以四边形BFDC是平行四边形
所以BF=CD
∠BAC=45°=∠BDC
∠CAD=∠CBD=∠BDF=∠BAF
∠ADB=45°=∠ADF+∠FDB
所以∠BAF+∠ABF=45°
所以∠AFE=45°
所以△AFE是等腰直角三角形
所以AE=EF
所以BE=AE+CD
即得证

Answer 5

(1)连接A、C做辅助线AC：
因为CD⊥AD,所以AD²+CD²=AC²
又因为AD²+CD²=2AB²，所以2AB²=AC²

因为∠ABC=90°，所以AB²+BC²=AC²
综上AB²+BC²=AC²=2AB²，所以BC²=2AB²-AB²=AB²
所以AB=BC;
(2)从C做AD的平行线CF
因为ED⊥BE,CF平行于ED,所以CF⊥BE,∠CFE=∠BED=∠EDC=90°,四边形CDEF为矩形
所以EF=CD;
∠ABE+∠CBE=90°,∠ABE+∠BAE=90°所以∠BAE=∠CBE;
∠ABE+∠BAE=90°,∠BCF+∠CBE=90°所以∠ABE=∠BCF;
综上∠BAE=∠CBE，∠ABE=∠BCF，AB=BC,所以三角形ABE全等于三角形BCF;
所以AE=BF;
综上AE=BF,CD=FE,BE=BF+FE
所以BE=AE+CD;