Question

如图,分别以△ABC的边AB,AC向形外作等边△ABD和等边△ACE,连接CD,BE交于点P

1)求证：CD=BE
2）若∠BAC=90°，∠ACB=30°，则图中那个三角形与△BCP相似，请加以证明
3）在（2）的条件下，求S△BCP：S△DCB的值

Answer 1

第一个问题：
∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB、AC＝AE、∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB＋∠BAC＝∠BAC＋∠CAE，∴∠ADC＝∠BAE。
由AD＝AB、AC＝AE、∠ADC＝∠BAE，得：△DAC≌△BAE，∴CD＝BE。

第二个问题：此时△DCB∽△BCP。证明如下：
由第一个问题的解答过程，有：△DAC≌△BAE，∴∠ADP＝∠ABP、∠ACP＝∠AEP，
∴A、D、B、P共圆，A、E、C、P共圆，∴∠APD＝∠ABD、∠APE＝∠ACE。

∵△ABD、△ACE都是等边三角形，∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠DPE＝∠APD＋∠APE＝∠ABD＋∠ACE＝60°＋60°＝120°，∴∠BPC＝120°。
∵∠BAC＝90°、∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝60°＋60°＝120°。
由∠DBC＝∠BPC＝120°，∠DCB＝∠BCP，得：△DCB∽△BPC。

第三个问题：
过D作DE⊥CB交CB的延长线于E。
∵∠BAC＝90°、∠ACB＝30°，∴AB＝BC/2。
∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝BC/2。
∵∠DBC＝120°，∴∠DBE＝60°，而∠DEB＝90°，
∴BE＝BD/2＝BC/4、DE＝（√3/2）BD＝（√3/4）BC。
∴CE＝BC＋BE＝BC＋BC/4＝（5/4）BC。
∴CD＝√（DE^2＋CE^2）＝√［（3/16）BC^2＋（25/16）BC^2］＝（√7/2）BC，
∴BC/CD＝2/√7，∴（BC/CD）^2＝4/7。
由第二个问题的结论，有：△DCB∽△BPC，∴S(△DCB)∶S(△BPC)＝（BC/CD）^2＝4/7。

Answer 2

只能证明第一问：
因为△ABD和△ACE等边，所以DA=BA,AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°,∠DAC=∠BAE.根据边角边全等定理，△DAC和△BAE全等，所以 CD=BE。
第二问没明白

Answer 3

解：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACD=∠AEB，
∠DPE=∠BEC+∠ECP=∠BEC+∠ECA+∠ACD=120°，
∴∠BPD=60°．
故选C．