Question

求高中二项式的一些例题和解题方法

最好能举几道高考难度的例题，比如二项式和极限的综合题，二项式和数列的题，赋值法的应用，二项式关于整除的题

Answer 1

一、通项意识
凡涉及到展开式的项及其系数问题，常是先写出其通项公式，再据题意进行求解．因此通项意识是解二项式定理问题的首选意识．

二、方程意识
已知展开式中若干项系数的关系，求指数及二项式中参数的值等，可借助展开式中的通项，根据题意建立方程解决．

四、转化意识
转化意识是高考重点考查的内容之一．在二项式定理的有关问题中，主要表现在单项式和三项式转化配凑为二项式来求解；多个二项式的积的某项系数问题转化为乘法分配律问题．

Answer 2

二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
题型一：求二项展开式
1．“ ”型的展开式
例1．求 的展开式；
解：原式= =
=
=
=
小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “ ”型的展开式
例2．求 的展开式；
分析：解决此题，只需要把 改写成 的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”
例3．计算 ；
解：原式=
小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项
1．求指定幂的系数或二项式系数
（1）求单一二项式指定幂的系数
例4．（03全国） 展开式中 的系数是 ；
解： = =
令 则 ，从而可以得到 的系数为：
， 填
（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例5．（02全国） 的展开式中， 项的系数是 ；
解：在展开式中， 的来源有：
① 第一个因式中取出 ，则第二个因式必出 ，其系数为 ；
② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出 ，其系数为
的系数应为： 填 。
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例6．（04安徽改编） 的展开式中，常数项是 ；
解：
上述式子展开后常数项只有一项 ，即
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，
考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项
例7．（00京改编）求（ 的展开式的中间项；
解： 展开式的中间项为
即： 。
当 为奇数时， 的展开式的中间项是 和 ；
当 为偶数时， 的展开式的中间项是 。
3． 求有理项
例8．（00京改编）求 的展开式中有理项共有 项；
解：
当 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；
② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。
4． 求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例9．（00上海）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
解：
要使项的系数最小，则 必为奇数，且使 为最大，由此得 ，从而可知最小项的系数为
（2） 一般的系数最大或最小问题
例10．求 展开式中系数最大的项；
解：记第 项系数为 ，设第 项系数最大，则有
又 ，那么有

即

解得 ， 系数最大的项为第3项 和第4项 。
（3） 系数绝对值最大的项
例11．在（ 的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
解：求系数绝对最大问题都可以将“ ”型转化为 型来处理，
故此答案为第4项 ，和第5项 。
题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例12．（99全国）若 ，
则 的值为 ；
解：
令 ，有 ，
令 ，有
故原式=
=
=
例13．（04天津）若 ，
则 ；
解： ，
令 ，有
令 ，有
故原式= =
在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言： 特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14．设 ，
则 ；
分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。
解：

=
=0
题型四：利用二项式定理求近似值
例15．求 的近似值，使误差小于 ；
分析：因为 = ，故可以用二项式定理展开计算。
解： = =
，
且第3项以后的绝对值都小于 ，
从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
= =
小结：由 ，当 的绝对值与1相比很小且 很大时， 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式： ，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式： 。
利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五：利用二项式定理证明整除问题
例16．（02潍坊模拟）求证： 能被7整除。
证明：
=
=
=49P+ （ ）
又
=（7+1）
=
=7Q（Q ）

能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二
项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。
二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。

如果显示不出来，请给我邮箱！

追问

显示不出来啊 邮箱821279768@ qq.com

追答

已发送，请查收