Question

二重积分问题

我在计算一道二重积分问题时傻了，大家帮忙看看
椭圆(x/a)^2+(y/b)^2<=1求=∫∫y^2dxdy
应该这么做
∫∫y^2dxdy=∫(0 a)dx∫[0 根号(b^2-x^2b^2/a^2)]y^2dy
然后一步步积分就行答案是5ab^3π/24
这个没什么错应该，标准答案也是这样……
但问题是，如果我变换积分顺序
∫∫y^2dxdy=∫（0 b）dy∫[0 根号（a^2-y^2a^2/b^2)]y^2dx
这样积分答案是ab^3π/4
我究竟哪里错了？能不能给指教一下？谢谢！！！
1 我给出的两个答案都是乘以四的
2 你可以用两种方法算一下，我认为答案确实不一样，问题出在方法上，不知道哪里有错

Answer 1

这真在家没事做，在此帮帮你吧！
注：括号里为对应积分号的上下限

第一种方法：先积y
∫（0，a）dx∫(0,b√1-x^2/a^2)y^2dy
=∫（0，a）y^3/3｜(0,b√1-x^2/a^2)dx
= b^3/3∫（0，a）(1-x^2/a^2)^3/2dx
令x=asint
=b^3/3∫（0，π/2）(cost)^3dasint
=ab^3/3∫（0，π/2）(cost)^4dt
= ab^3/3*3/4*1/2*π/2
=πab^3/16
第二种方法：先积x
∫（0，b）dy∫(0,a√1-y^2/b^2)y^2dx
=∫（0，b）y^2√1-y^2/b^2dy
令y=bsint
=ab^3∫（0，π/2）(sint)^2(cost)^2dt
= ab^3/4∫（0，π/2）(sin2t)^2dt
= ab^3/4∫（0，π/2）(1-cos4t)/2dt
= ab^3/8∫（0，π/2）(1-cos4t)dt
= ab^3/8∫（0，π/2）(t-(sin4t)/4)
=πab^3/16

两个答案相同，乘以四后为πab^3/4
还有一种可能，就是你把提议理解错了，人家并没让你算这个。好好算去吧你。