Question

已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2-1 在(0,2]上是单调的，求实数a的取值范围

已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2-1
（1） 在(0,2]上是单调的，求实数a的取值范围。
（2）当X∈[-1,1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出y=g(a)的图像。

Answer 1

解：
（1）显然x^2-2ax+a^2-1=(x-a)^2-1,对称轴为x=a
根据二次函数的性质我们知道，在对称轴的两侧函数都是单调的
则a必然在区间(0,2]外，必有a≥2或a≤0
（2）a≤-1时，在X∈[-1,1]上函数单调递减，此时最小值为f (min)=f(-1)=1+2a;
-1≤a≤1时，最小值即为函数顶点的纵坐标，此时最小值为f (min)=-1；
1≤a时，在X∈[-1,1]上函数单调递增，此时最小值为f (min)=f（1）=1-2a
问题得解！
是个分段函数，函数图象略

追问

画图的过程讲一下呗 亲

追答

图象我传不上来，你可以这样啊，横坐标为a，纵坐标为g(a)
当a≤-1时,画出g(a)=1+2a图象，是个一次函数，图象只画到-1时候为止，右边部分不要
当-1≤a≤1时，是g(a)=-1直线，只取-1≤a≤1之间的一段，显然a=-1时，1+2a=-1，所以图象的左边要和上面一段的右端点重合
同样可以画出当1≤a时，g（a）=1-2a的图象，图象也只取相应范围内的部分，几段图象都是连接在一起的，图象有点像一个梯形去掉下底那条线的样子

Answer 2

(1)在(0,2]上单调，对称轴X=-b/2a=a不在区间内

a>=2或a<=0

(2)有所给函数可以得出此函数开口向上

   f(-1)=2a+a^2

    f(1)=-2a+a^2

    f(a)=-1

   当a<=-1      最小值为f(-1)=2a+a^2

   当0=>a>-1  最小值为 f(a)=-1

   当a>2         最小值为f(1)=-2a+a^2

 

y=g(a)图像如下