Question

已知x^2+4(y-1)^2=4,求(1)x^2+y^2的最值(2)x+y的最值

已知x^2+4(y-1)^2=4,求(1)x^2+y^2的最值(2)x+y的最值

Answer 1

第一个问题：
令x^2＋y^2＝A，则：x^2＝A－y^2，又x^2＋4（y－1）^2＝4，∴A－y^2＋4（y－1）^2＝4，
∴A－y^2＋4（y^2－2y＋1）－4＝0，∴3y^2－8y＋A＝0。
∵y是实数，∴需要（－8）^2－4×3A≧0，∴12A≦64，∴A≦16/3。
∴x^2＋y^2的最大值是16/3。
显然，x^2＋y^2≧0，当x＝y＝0时，满足给定的条件，∴x^2＋y^2的最小值是0。
∴x^2＋y^2的最大值是16/3，最小值是0。

第二个问题：
令x＋y＝B，则：x＝B－y，又x^2＋4（y－1）^2＝4，∴（B－y）^2＋4（y－1）^2＝4，
∴B^2－2By＋y^2＋4（y^2－2y＋1）－4＝0，∴5y^2＋（8－2B）y＋B^2＝0。
∵y是实数，∴需要（8－2B）^2－4×4B^2≧0，∴（8－2B＋4B）（8－2B－4B）≧0，
∴（2B＋8）（6B－8）≦0，∴（B＋4）（B－4/3）≦0，∴－4≦B≦4/3。
∴x＋y的最大值是4/3，最小值是－4。