Question

已知a>b>c,求证 1/a-b+1/b-c+1/c-a>0

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Answer 1

要证1/a-b+1/b-c+1/c-a>0 即证明
(a-c)/(a-b)(b-c)+1/(c-a)＞0
即 (a-c)/(a-b)(b-c)＞1/(a-c)
∵a＞b＞c
∴即证明 (a-c)²＞(a-b)(b-c)
即 a²-2ac+c²＞ab-ac-b²+bc
a²-ac+c²＞ab-b²+bc
a²+c²+b²＞ab+bc +ac
2 a²+2c²+2b²＞2ab+2bc +2ac
（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²＞0
∵a＞b＞c ∴原式成立
∴1/a-b+1/b-c+1/c-a>0 成立

此不等式的证明方法有多种，此方法是技巧性不高但是最容易想到的。
不等式的证明，基本方法有
比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法。
综合法：运用各种恒成立不等式，但是要注意等号取到的条件。
分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，经过简单化简和变换找寻突破口，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。
换元法：适当将复杂的代数式换元，有利于不等式运算和证明
反证法
放缩法

Answer 2

证
a>b>c
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
=(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)/(a-b)(b-c)(c-a)
=bc-ba-c²+ca+ac-a²-bc+ab+ab-ac-b²+bc/(a-b)(b-c)(c-a)
=-(a²-ab+b²-ac+c²-bc)/-(a-b)(b-c)(a-c)
=-2(a²-ab+b²-ac+c²-bc)/-2(a-b)(b-c)(a-c)
=2a²-2ab+2b²-2ac+2c²-2bc/2(a-b)(b-c)(a-c)
=(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²/2(a-b)(b-c)(a-c)
因为
a>b>c
所以
a-b>0
b-c>0
a-c>0
所以
2(a-b)(b-c)(a-c)>0
又因为
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²>0
所以
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²/2(a-b)(b-c)(a-c)>0
所以
1/（a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

Answer 3

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
=((b-c)(c-a)+((a-b)(c-a)+(a-b)(b-c))/((a-b)(b-c)(c-a))
=(ab+ac+bc-a^2-b^2-c^2)/((a-b)(b-c)(c-a))
=-((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2((a-b)(b-c)(c-a))
因a,b,c不相等，故可设a>b>c
则(a-b)(b-c)(c-a)<0,且-((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)<0
故1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

Answer 4

是2/c-a吧

Answer 5

a=3,b=2,c=1可以得出你的题目是错的